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변수 간에 상관관계가 있는지,yn)의 데이터를 확보했다고 하자.최소자승법은 이 편차의 제곱을 최소화하기 위한 방법이다.최소자승법이란, 측정값들의 분포를 가장 잘 나타내는 일차함수이다. (xn, ytrue〓a+bx 는 직선 방정식의 일반적인 형태일 뿐,?엑셀을 사용한 다량의 데이터 처리방법을 익혀보자.? 합계항 앞의 인자 1/(N-1)과 1/(N-2)의 차이에 대한 설명은 통계학 서적을 참고한다.)편차 제곱의 총합 χ²를 오차(Residual)라고 하며, .다음의 그림에서 표시된 각 점들은 측정값 (xi,y2),y2, 종속변수의 표준편차는 다음의 식을 따른다.간단히 a,? 을 만족하는 a, a와 b는 아직 정의되지 않음에 주의한다.종속변수가 독립변수에 따라 선형적으로 변하면, a와 b는 χ²를 최소화하는 값이 되어야 한다.오차의 제곱(自乘, 이 상관관계를 나타내는 함수 y〓f(x)를 찾는 하나의 도구라고 할 수 있다..(이 편차를 그대로 더하면 양의 값과 음의 값의 합이 되기 때문에 적합한?결과를 얻지 못한다.이렇게 해서 구해진 함수 y〓f(x)는 이 측정값들의  ......

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교육, 자료 수학 자료 최소자승법 활용법

[교육,] [수학] 최소자승법 활용법

최소자승법

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●최소자승법이 필요한 이유? 일반적으로 어떤 실험을 행할 때,?변량 x (독립변수 Independent Variable)를 변경해가며,그에 따른 실험값 y (종속변수 Dependent Variable)의 쌍 (x,y)을 얻는다.실험을 N회 반복하여 (x1,y1), (x2,y2), ... (xn,yn)의 데이터를 확보했다고 하자.이?수많은 데이터들이 일정한 규칙성을 갖지 못한다면, 이 실험은?아무런 의미를 갖지 못한다.따라서,?데이터들의 유용성을 판단하기 위해서 가장?먼저 해야할 작업은,두 변수 간에 상관관계가 있는지, 만약 있다면 어떤 상관관계를 갖고 있는지 찾아보는 것이다.상관관계를 함수로 표현할 수 있다면, 이 실험에서 나온 데이터를 분석했더니 이런 규칙이 있더라.라고 말할 수 있으며, 여기서 하나의 공식이 탄생하는 것이다.최소자승법이란, 이 상관관계를 나타내는 함수 y〓f(x)를 찾는 하나의 도구라고 할 수 있다.??

●최소자승법 (Method of Least Squares) 이란??N회 측정한 측정값 y1,y2,...,yn이 어떤 다른 측정값 x1,x2,...xn 의 함수라고 추정할 수 있을 때,측정값 yi와 함수값 f(xi)의 차이를 제곱한 것의 합

이 최소가 되도록?하는 함수?f(x)를 구하는 것이 최소자승법의 원리이다.이렇게 해서 구해진 함수 y〓f(x)는 이 측정값들의 관계에 가장 적합한 함수라고 할 수 있다. 이해를 돕기 위해 다음의 그림을 살펴보자.다음의 그림에서 표시된 각 점들은 측정값 (xi,yi)이고, 직선 (xi,f(xi))은 최소자승법을 사용해 구한, 측정값들의 분포를 가장 잘 나타내는 일차함수이다. 즉, 이 함수는 (측정값-함수값)²의 총합(오차의 총합)이 최소가 되는 직선이라고 할 수 있다.

●최소자승법의 수학적 이해1) 최적 함수 y〓a+bx 유도본격적으로 최소자승법을 사용하여 최적의 함수를 유도해보자.여기서는 가장 간단한 일차함수의 예를 들어 최소자승법의 수학적 개념을 설명하고자 한다.그리고, 이 개념 및 수식을 활용하여,?엑셀을 사용한 다량의 데이터 처리방법을 익혀보자.위의 그림에서 각 데이터 좌표에서 최적 함수까지의 거리를 고려해보자.이 직선이 최적의 함수라면, 이?차이가 가능한 한 최소의 값을 가질 것이다.최소자승법은 이 편차의 제곱을 최소화하기 위한 방법이다.(이 편차를 그대로 더하면 양의 값과 음의 값의 합이 되기 때문에 적합한?결과를 얻지 못한다.또한 절대값을 사용할 경우, 추후 미분계수 계산 시 문제가 발생할 수 있다.)편차 제곱의 총합 χ²를 오차(Residual)라고 하며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

만약 데이터가 선형적인 관계라면, ytrue는?보통 ytrue〓a+bx 로 표현할 수 있고, 오차는 다음과 같다.

여기서, ytrue〓a+bx 는 직선 방정식의 일반적인 형태일 뿐, a와 b는 아직 정의되지 않음에 주의한다.데이터에 적합한 직선을 찾기 위해서는 이 오차를 최대한 줄여야 한다.즉, a와 b는 χ²를 최소화하는 값이 되어야 한다.오차의 제곱(自乘,square)의 총합을 최소화(least)하는 방법(method)이라의 의미에서최소자승법(Method of least squares)의 명칭이 나온 것이다.간단히 a,b를 구해보도록 하자. (대부분의 통계학 서적에 자세히 설명하고 있으니 참고하도록 한다)오차를 최소화하기 위한 a,b를 구하기 위해서는, a,b?대해 각각 편미분한 값이 0 이 되면 된다. 즉,?

을 만족하는 a,b를 계산하면 최종 결과는 다음과 같다.?

2) 변수 x,y,a,b 의 표준편차독립변수 x 의 평균값을 이용한 표준편차 σx의 공식은 다음과 같다.?

종속변수 y 에 대한 표준편차 σy는 σx와는 다소 다르게 계산한다.종속변수가 독립변수에 따라 선형적으로 변하면, 종속변수의 표준편차는 다음의 식을 따른다.?

합계항 앞의 인자 1/(N-1)과 1/(N-2)의 차이에 대한 설명은 통계학 서적을 참고한다.a,b의 표준편차는 종속변수 σy의 표준편차로부터 유도되며,

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